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※本文擷錄自「衍生性金融商品--選擇權‧期貨與交換」 陳威光教授所著。若想更深入了

 

 解理論公式,可自行購買參閱。

 

Black-Scholes買權評價公式

 

 

本節要介紹的是「布萊克-修斯選擇權評價模型」或簡稱「B-S模型」,是選擇權教材中最重要的部分。B-S模型被用來計算理論上選擇權的目前價值。B-S模型是由兩位美國財務經濟學家『費雪‧布萊克 Fischer Black』及『麥倫‧修斯 Myron Scholes』於1973年聯合提出的。此一公式之推出,奠定了衍生性商品快速發展的基礎。

 

全世界最早交易的選擇權交易所-芝加哥選擇權交易所(CBOE),是在1973年開始交易十交種股票買權,非常巧的是,這和B-S評價公式的提出剛好是同一年。

 

選擇權的價格也稱為權利金(Premium),那麼買方需要支付多少權利金,來取得未來的報酬權利,才算合理呢?而賣方需要收取多少權利金,來彌補其未來可能的支出義務,才算公平呢?這就牽涉到買權、賣權的合理價格之計算。B-S公式便是用來評價買權賣權的合理價格。

 

C=S*N(d1)-K(1+r)-TN(d2)

 

其中,d1=1n*S/K+(r+0.5σ2)T/σ√T

 

d2=1n*S/K+(r+0.5σ2)T/σ√T= d1 -σ√T

 

 

C:買權目前理論價值

 

S:目前的股價

 

K:履約價格

 

r:無風險利率(以年為標準)

 

T:到期日之長短(以年為單位)

 

1n:自然對數

 

延伸閱讀 : 5分鐘選擇權教學,12 份選擇權新手大補帖,讓你知道選擇權是什麼,不再看見選擇權就糊塗!

σ:股價報酬波動度(以年為標準)

 

N(d1):為標準常態分配(standard normal distribution)之累積機率密度函數(cumulative density function),此機率函數代表一個標準常態分配(0為平均數,1為標準差)之隨機變數小於d1累積之機率,如圖: 

 

標準常態機率分配圖

 

 

 

說明:圖表表示標準常態(0為平均收,1為標準差)的機率分配圖,套色區域的面積表示標準常態變數小於d1的機率總和,即累積機率N(d1)

 

因此,我們只要知道目前股價及選擇權的履約價格、到期日、股價報酬的波動性、無風險利率,就可以根據公式5-1求出合理的買權價值。以下舉例說明B-S公式的使用。

 

 

 

 

例題:

 

  假設台積電(台灣積體電路公司)目前股價為100元,那麼履約價格為100元、到期期限為一年的買權(或認購權證)合理價格為多少(假設台積電股價年報酬波動性為60%,台灣的無風險利率為6%)

 

解:根據上述資料,參考公式5-1的定義可知S=100K=100r=6%T=1,σ=60%

 

 

  步驟1:先求出d1

 

  d1=1n*100/100+(6%=0.5*0.62)*1/0.6*1=0+0.06+0.18/0.6=0.24/0.6=0.4

 

  步驟2:求N(d1)

 

  N(d1)=N(0.4)=0.655

 

  步驟3:求d2

 

  d2= d1-σ√T=0.4-0.61=-0.2

 

  步驟4:求N(d2)

 

  查表得 N(d2)=N(-0.2)=0.421

 

  步驟5:求出買權價值

 

  買權合理價格為:S*N(d1)-K(1+r) -T * N(d2)

 

  =100*0.655-100(1+0.06) -1 *0.421=25.78

 

 

也就是根據所給定的資料,一年期的台積電認購權證目前合理的價格是25.78元。

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